Dünya'yı Değiştiren 21 Matematiksel Denklem

2012 senesinin başlarında, matematikçi Ian Stewart 'Bilinmeyenin İzinde: Dünya'yı Değiştiren 17 Denklem' başlıklı kitabını yayımladı ve insanlığın tarihinde keşfedilen 17 matematiksel denklemi, bilimsel yoğunluğundan kurtararak, herkes tarafından anlaşılabilir bir hale soktu. Prof. Dr. Ian Stewart'a bu kitabını neden yazmaya karar verdiği sorulduğunda şöyle yanıt veriyor:

'Denklemler kesinlikle sıkıcı olabilir ve çok karmaşık görünebilirler. Ancak bunun sebebi genellikle sıkıcı ve karmaşık bir şekilde sunulmalarındandır. Benim okullarımızdaki matematik öğretmenlerine göre bir avantajım var: Size toplamayı kendi başınıza nasıl yapacağınızı göstermeye çalışmıyorum. Denklemlerin nasıl çözüleceğini bilmeden de onların güzelliğini ve önemini takdir edebilirsiniz. Benim niyetim onları kültürel ve insani bir hale sokmak ve onları tarihimizdeki maskelerinden arındırmaktır. Denklemler, kültürümüzün önemli bir parçasıdır. Bu denklemlerin arkasındaki hikayeler, onları keşfedenler, onların yaşadıkları dönemler ve benzerleri oldukça etkileyicidir.'

Bu yazımızda sizlere bu denklemlerle ilgili kısaca bilgileri vereceğimiz bir özet sunacağız. Böylece Prof. Stewart'ın kitabında yapmaya çalıştığının kısa bir örneğini göstermeye çalışacağız. Ayrıca modern kullanımlarına birer ikişer örnek vererek ne gibi alanlarda kullanıldığını anlatmayı hedefleyeceğiz. Bu denklemlerin tek kullanım alanlarının bu örnekler olmadığının altını çizmek isteriz.

Bizim başlığımız neden kitabınkinden farklı? Çünkü Prof. Stewart'ın dahil etmediği bazı denklemleri dahil ettik. Zaman içerisinde başka büyük denklemlerle karşılaşacak olursak, onları da yazıya dahil edeceğiz.

Ne Anlama Geliyor? 

Bir dik üçgende, en uzun kenarın (hipotenüsün) karesi, her zaman kısa kenarların karesinin toplamına eşittir. Bu denklemde “a” ve “b” harfleri dik üçgenin kısa kenarlarını, “c” ise hipotenüsü temsil eder.

Tarihi Nedir?

Her ne kadar her zaman Pisagor ile ilişkilendirilse de, bu denklemi ispatlayan ilk kişinin kim olduğu halen kesin olarak bilinmemektedir. İlk net ispat Euclid tarafından yapılmıştır ve muhtemelen bu konsept Pisagor’dan 1000 yıl kadar önce Babilliler tarafından bilinmekteydi.

Önemi Nedir?

Bu denklem, geometrinin temelinde bulunan denklemdir, cebir ile bağlantısını kurar ve trigonometrinin temelini oluşturur. Bu denklem olmaksızın isabetli bir şekilde haritacılık ve navigasyon yapılamazdı.

Modern Kullanımı Nedir?

Üçgenleme (triangülasyon) yöntemi sayesinde GPS ile yapılan navigasyonda noktalamalar ve kesin yer tayinleri yapılabilmektedir. Bunun haricinde mimaride, inşaat mühendisliğinde, adli bilimlerde merminin yolunun belirlenmesinde, depremlerin merkezinin tespitinde kullanılmaktadır.

2012 senesinin başlarında, matematikçi Ian Stewart 'Bilinmeyenin İzinde: Dünya'yı Değiştiren 17 Denklem' başlıklı kitabını yayımladı ve insanlığın tarihinde keşfedilen 17 matematiksel denklemi, bilimsel yoğunluğundan kurtararak, herkes tarafından anlaşılabilir bir hale soktu. Prof. Dr. Ian Stewart'a bu kitabını neden yazmaya karar verdiği sorulduğunda şöyle yanıt veriyor:

Ne Anlama Geliyor? 

Bir dik üçgende, en uzun kenarın (hipotenüsün) karesi, her zaman kısa kenarların karesinin toplamına eşittir. Bu denklemde “a” ve “b” harfleri dik üçgenin kısa kenarlarını, “c” ise hipotenüsü temsil eder.

Tarihi Nedir?

Her ne kadar her zaman Pisagor ile ilişkilendirilse de, bu denklemi ispatlayan ilk kişinin kim olduğu halen kesin olarak bilinmemektedir. İlk net ispat Euclid tarafından yapılmıştır ve muhtemelen bu konsept Pisagor’dan 1000 yıl kadar önce Babilliler tarafından bilinmekteydi.

Önemi Nedir?

Bu denklem, geometrinin temelinde bulunan denklemdir, cebir ile bağlantısını kurar ve trigonometrinin temelini oluşturur. Bu denklem olmaksızın isabetli bir şekilde haritacılık ve navigasyon yapılamazdı.

Modern Kullanımı Nedir?

Üçgenleme (triangülasyon) yöntemi sayesinde GPS ile yapılan navigasyonda noktalamalar ve kesin yer tayinleri yapılabilmektedir. Bunun haricinde mimaride, inşaat mühendisliğinde, adli bilimlerde merminin yolunun belirlenmesinde, depremlerin merkezinin tespitinde kullanılmaktadır.

Ne Anlama Geliyor? 

Özellikle çok büyük sayılarla yapılacak çarpma işlemlerinin, belirli bir tabana göre logaritmik olarak yapıldığında, toplama biçiminde ifade edilebileceğini gösterir. Logaritmalar, 'log' sembolüyle ifade edilirler ve genelde bu şekilde yazıldıklarında 10'luk tabandaki logaritma anlamına gelirler. Bu durumda, log(103) sayısı, 3 sayısına, yani 10'un üssü şeklinde ifade edilen sayının üssüne eşit olmaktadır. Bu sayede 1000 sayısı, 3 olarak ifade edilerek daha kolay biçimde işlem yapılabilir. Ancak logaritmaları farklı tabanlarla da kullanmak mümkündür. Örneğin log2(28) sayısı, 8'e eşittir. Böylece 256 sayısı 2'lik logaritma tabanında 8 olarak ifade edilebilir. Yukarıdaki denklem, bu şekilde büyük sayıların birbiriyle çarpımında, logaritmanın kullanılarak çarpma gibi devasa sonuçlar verebilen bir işlemi toplama gibi daha ufak sonuçlar verebilen ve daha hızlı yapılabilen bir hale dönüştürebileceğimizi gösteriyor. Burada 'x' ve 'y' harfleri herhangi iki sayıyı ifade ediyor.

Tarihi Nedir?

Konsept ilk olarak Merchiston'dan bir İskoç bilim insanı John Napier tarafından keşfedildi. Napier, büyük sayıların çarpımının çok zor ve uğraştırıcı olduğunu fark etti ve bunları kolay ve hızlı bir şekilde yapabilmeyi hedefledi. Geliştirdiği sistem sonradan Henry Briggs tarafından tablolaştırıldı ve çok daha güçlü bir araç haline geldi.

Önemi Nedir?

Logaritmanın keşfi tek kelimeyle devrimdi. Bu sayede mühendisler ve astronomlar hesaplamaları çok daha hızlı yapabilmeye başladılar. Günümüzde bilgisayarların keşfiyle bu devrim önemsiz kalmıştır; ancak yine de bugünlere gelebilmemiz için bilim insanları açısından önemlidir.

Modern Kullanımı Nedir?

Logaritmalar halen radyoaktif bozunum gibi çok önemli konularda kullanılmaktadır. Aslında logaritmalar, zamana bağlı değişimlerin (azalma veya artma) olduğu hemen her alanda karşımıza çıkarlar. Örneğin banka kredilerinin üzerine eklenecek faizlerin hesabında logaritma fonksiyonları kullanılabilmektedir. Bunun haricinde biyologlar popülasyonlar üzerinde çalışırken, fizikçiler nükleer tepkimeler üzerinde çalışırken, kimyagerler zincir tepkimeleri üzerinde çalışırken, bankacılar yatırımları üzerinde çalışırken logaritmaları kullanmaktadır. Ayrıca fizyologlar tarafından gözün ışığa verdiği tepkiyi ölçmekte kullanılır. Son olarak, özellikle makina ve elektrik mühendisleri tarafından sinyallerin ve titreşimlerin zaman içerisinde sönümlenmesinin hesabında kullanılmaktadır. Bilgisayar mühendisleri de bir yazılımın ne kadar hızlı çalışacağını hesaplamak için logaritmalara başvururlar.

Ne Anlama Geliyor? 

Bir değerin zaman içerisindeki sonsuz küçüklükteki değişimlerinin birikerek, o değerin belli bir zamandaki toplam değişimine eşit olacağını gösterir. Bir diğer deyişle, değişim içerisindeki bir fonksiyonu, çok çok küçük zaman aralıklarında değerlendirecek ve bu değişimleri toplayacak olursak, bu değişimlerin toplamının, genel değişim toplamına eşit olacağını gösteren denklemdir. Burada “f” harfi değişimini incelediğimiz fonksiyonu, “t” harfi ise hangi değişkene göre değişimin izlendiğini göstermektedir. “t”, genellikle zamanı ifade eder, dolayısıyla “f” fonksiyonunun zamana göre değişimi incelenir. Bunu ifade eden denklemin sol tarafı, fonksiyonun zamana göre türevinin alındığını gösterir. Denklemin sağ tarafındaki “t” yine zamanı, “f(t)” yine zamana bağlı olan herhangi bir fonksiyonu ifade eder. “h” ise küçük bir değişimi temsil etmektedir, dolayısıyla “f(t+h)”, elimizdeki fonksiyonun “t” anından çok az bir zaman sonraki halini ifade etmek için kullanılır. Bu “çok az bir zaman farkını” anlatmak için ve fonksiyonun o ufak değişimini ifade etmek için matematiksel limit kullanılır ve “lim” ile gösterilen budur.

Tarihi Nedir?

Günümüzde bildiğimiz Kalkülüs 17. yüzyılda Isaac Newton ve Gottfried Leibniz tarafından geliştirilmiştir ve günümüzde Dünya’nın her yerinde aynı şekilde ifade edilir. Bu denklemin keşfiyle ilgili uzun yıllar bilgi hırsızlığı (intihal) iddialarında bulunulmuştur. Ne yazık ki halen bu denklemin gerçek sahibine karar verilememiştir. Bu sebeple bu iki bilim insanının da bakış açılarını ve dehalarını bu denklemi anmak için kullanıyoruz.

Önemi Nedir?

Stewart’a göre bu denklemin önemi şöyledir: “Diğer bütün matematiksel tekniklerden öte, bu denklem modern dünyayı yaratmıştır.” Kalkülüs, katıları, eğrileri ve alanları ölçmekte ve anlamakta kullandığımız temel araçtır. Birçok doğa kanununun temelinde yer alır ve diferansiyel denklemlerin kaynağıdır.

Modern Kullanımı Nedir?

En uygun çözümün gerektiği her türlü problemde kullanılır. Tıp, ekonomi ve bilgisayar bilimleri için temeldir. Mühendisler tarafından GPS sistemlerinin geliştirilmesinde, gökdelenlerin ve köprülerin inşasında, robotların parçalarının belirli emirlere nasıl tepki vereceğinin analizinde, sistem tasarımında, araçların güvenliğinin geliştirilmesinde kullanılmaktadır. Biyologlar tarafından ekosistem içerisindeki türlerin değişiminde, ilaçların vücut içerisindeki derişiminin hesaplanmasında, anatomik ve fiziksel özelliklerin (kemik uzunluğu gibi) belirlenmesinde, bakteri gibi türlerin çoğalma hızlarının tespitinde kullanılır. Ekonomide pazar tahminlerinde, gelir düzeylerinin belirlenmesinde, problemlerin en uygun çözümlerinin geliştirilmesinde, aylık ödeme miktarlarının belirlenmesinde kullanılır. Bunlar haricinde anket sonuçlarının değerlendirilmesinde, hastalıkların ilerleme hızının tespitinde, küresel haritalandırma yöntemlerinin geliştirilmesinde, paradoksal sorunların çözülmesinde yer alır.

Ne Anlama Geliyor? 

Evrendeki her bir cismin, her bir diğer cismi kütlesiyle doğru, aralarındaki uzaklığın karesiyle ters orantılı olarak kendine doğru çektiğini gösteren denklemdir. Kısaca, evrendeki cisimler arasındaki çekim kuvvetini hesaplamak için kullanılır. Sol taraftaki “F”, cisimlerin her birine etkiyen kuvveti gösterir. “G”, evrensel kütleçekim sabitidir ve yaklaşık olarak 6.67 x 10-11 N(m/kg)2 değerine sahiptir. “m1” ve “m2“, incelenen iki cismin kütlelerini ifade eder. “d” ise, iki cisim arasındaki dik uzaklıktır.

Tarihi Nedir?

Isaac Newton bu çalışmasını kendisinden önce Johannes Kepler’in yaptığı çalışmalar üzerine kurmuştur. Bir ihtimal, Robert Hooke’un çalışmalarından faydalanmış ve bir miktar intihal yapmış olabilir.

Önemi Nedir?

Dünya’nın nasıl çalıştığını anlamamızı sağlar ve kalkülüsü kullanır. Her ne kadar sonradan Einstein’ın görecelik teorisi tarafından gölgede bırakıldıysa da, halen cisimlerin birbirleriyle nasıl etkileştiği konusunda bilgi edinmemizi sağlar. Günümüzde uyduların ve sondaların yörüngelerini tasarlamak için kullanılmaktadır.

Modern Kullanımı Nedir?

Yeni uzay görevleri başlatıldığında, en uygun kütleçekimsel tüplerin (veya yolakların) bulunmasını sağlar ve bunların enerji bakımından en verimli olmasını hedefler. Ayrıca uydu kanallarının televizyonlarımızda görünebilmesini sağlar. Bunun haricinde gezegenlerin hareketlerinin tahmininde kullanılır ve bu yöntemle yapılan Neptün’ün keşfi Nobel Ödülü getirmiştir. Ayrıca bu yasa kullanılarak gelgitler ve miktarları belirlenir. Son olarak, birçok füze ve uydu sistemlerinin analizi bu denklem ile yapılır.

Ne Anlama Geliyor? 

Hayali (kompleks, karmaşık) bir sayının karesinin negatif olacağını gösterir. Buradaki “i” bir sayıdır ve her zaman “-1″ sayısının kareköküne eşittir. Normalde, lise sıralarında negatif sayıların karekökü olmaz.” diye öğretilse de, bu doğru değildir. Negatif sayıların karekökü, karmaşık sayılar verir.

Tarihi Nedir?

Hayali sayılar aslında ilk olarak kumarbaz matematikçi Girolamo Cardano tarafından ileri sürülmüştür. Daha sonradan Rafael Bombelli ve John Wallis tarafından geliştirilmiştir. William Hamilton tarafından kesin tanımları yapılana kadar garip bir sorun olarak matematikte kalmışlardır.

Önemi Nedir?

Stewart’a göre: “Elektrik ışıklandırmalarından dijital kameralara kadar birçok modern teknoloji bu sayılar olmadan icat edilemezdi.” Hayali sayılar, karmaşık analizlerde kullanılır ve bunlar da, mühendislerin çalışma alanındaki pratik sorunların çözülmesinde kullanılır.

Modern Kullanımı Nedir?

Elektrik mühendisliğinde ve karmaşık matematik teorisinde yoğun olarak kullanılır. Elektrik mühendisliği dahilinde bir devre elemanının verilen bir zamandaki durumunu belirlemek amacıyla kullanılabilir. Bunun haricinde elektromanyetik kuram dahilinde, elektrik alan kuvveti ile manyetik alan kuvvetini ifade etmekte kullanılır. Ayrıca akışkanların bir cisim etrafındaki hareketini tanımlarken karmaşık analizler gerekir ve burada bu sayılar devreye girer. Benzer şekilde, ekonomik sistemlerin davranışlarının analizinde bu sayıların kullanılması gerekir.

Ne Anlama Geliyor? 

Bir uzayın, yöneliminden bağımsız olarak şeklinin ve yapısının tanımlanmasını sağlar. Yukarıdaki denklemde “F”, bir çok yüzlü geometrik şeklin “yüz” sayısını, “E” aynı şeklin “kenar” sayısını, “V” ise aynı şeklin “köşe” sayısını ifade eder. Denkleme göre, yüz sayısı ile köşe sayısının toplamından kenar sayısını çıkarırsanız, hangi şekli inceliyor olursanız olun 2 sayısını elde edersiniz. Bir küpü düşünelim: 6 yüzü, 8 köşesi ve 12 kenarı vardır. Yukarıdaki denkleme koyacak olursanız, 6-12+8 işleminin sonucu 2’dir ve denklem sağlanır. Bunu her geometrik şekil ile deneyebilirsiniz.

Tarihi Nedir?

İlk olarak Descartes tarafından tanımlanan bu ilişki, sonradan Leonhard Euler tarafından 1750 yılında gözden geçirilmiş, ispatlanmış ve yayımlanmıştır.

Önemi Nedir?

Topografi (yüzey bilimi) açısından temel öneme sahiptir. Bu bilim dahilinde herhangi bir geometri sürekli yüzey olarak ifade edilir. Aynı zamanda mühendisler ve biyologlar için önemlidir.

Modern Kullanımı Nedir?

Topoloji, DNA’nın davranışını ve fonksiyonlarını anlamakta kullanılmaktadır. Bunun haricinde, topoloji sayesinde robotik alanında kullanılan sensörlerin isabetliliği arttırılmıştır.

Ne Anlama Geliyor? 

Standart normal dağılımı tanımlar. Bu dağılım, bir çan eğrisi şeklinde gözükür ve bir gözlem olasılığının en muhtemel olarak ortalama civarında olduğunu ifade eder. Ortalama değerden uzaklaştıkça o olayın görülme olasılığı azalır. Denklemde sol taraf, dağılım fonksiyonunu göstermektedir. Buradaki “1 bölü karekök içerisinde 2 çarpı pi’nin” varlığı, sol taraftaki fonksiyonun altında kalan alanın 1’e eşit olmasını sağlar. Karekök içerisindeki diğer harf olan “sigma”, “standart sapma” ifadesidir. Sonrasında bu ifade, eksponansiyel (“e” üzeri olarak gösterilir) bir sayı ile çarpılmaktadır. Bu sayı içerisindeki “x” fonksiyonumuzun değişkenini, parantez içerisinde “x”ten çıkarılan “mü” sayısı ise “ortalama” değeri ifade eder. Geri kalanı, izah edilen değişkenlerle aynıdır. 

Tarihi Nedir?

İlk olarak Blaise Pascal tarafından geliştirilen sistem sonradan Bernouilli tarafından son hali verilmiştir. Bugünkü çan eğrisi ise Belçikalı matematikçi Adolphe Quetelet tarafından tanımlanmıştır.

Önemi Nedir?

Modern istatistiğin temelindeki denklemdir. Bilim ve özellikle sosyal bilimler, bu denklem olmadan bugünkü halini alamazdı.

Modern Kullanımı Nedir?

İlaçların, klinik deneylerde, negatif etkilerine karşılık yeterince etkili olup olmadıklarını anlamak için kullanılır. Bunun haricinde özellikle üniversite öğrencilerinin sürekli olarak yarışmaları gereken bir dağılım eğrisi çıkarılmasını sağlar. Genel olarak, dağılımların olduğu her yerde çan eğrileri kullanılabilir. Evrimsel biyoloji dahilinde, popülasyonları modellemek ve evrimsel değişim yönlerini analiz etmek amacıyla çan eğrilerine başvurulur.

Ne Anlama Geliyor? 

Dalgaların davranışlarını tanımlayan diferansiyel denklemdir. Esasında bir keman telinin titreşimini tanımlamak için geliştirilmiştir. Burada, sol taraftaki “u”, genelde zamana ve konuma bağlı olan bir fonksiyonu ifade eder. “t”, zamanı gösterir. Soldaki ifadenin tamamı ise, “u” fonksiyonunun zamana bağlı olarak ikinci türevidir. Sağ tarafta yer alan “c”, denklemin başlangıç koşulları tarafından belirlenen, herhangi bir sabittir. Sonraki ifade ise, aynı “u” fonksiyonunun bu defa zamana göre değil, “konuma” göre, yani “x” harfine göre ikinci türevidir. Kimi zaman bunun yerine Laplasyen formda da yazılabilir. O zaman, Laplace operatörü olan ters üçgen işareti koyulur.

Tarihi Nedir?

Matematikçi Danielle Bernouilli ve Jean D’Alambert tarafından 18. yüzyılda keşfedilmiştir. İkili, aynı denklemi birbirlerinden biraz farklı olarak tanımlamışlardır.

Önemi Nedir?

Dalgaların davranışı, seslerin nasıl çalıştığına, depremlerin nasıl oluştuğuna ve okyanusların davranışlarına genellenebilmektedir.

Modern Kullanımı Nedir?

Petrol firmaları patlattıkları patlayıcılardan yayılan ses dalgalarını ölçerek jeolojik oluşumları tespit etmektedirler. Bunun haricinde müzik aletlerinin ve televizyonların yapılabilmesini ve geliştirilmesini sağlamaktadır. Evlerimizde kullandığımız mikrodalga fırınları mümkün kılmıştır. Günümüzde birçok tür elektromanyetik dalgaları kullanarak yönlerini, avlarını ve avcılarını tespit eder. Ayrıca sonarlar gibi engel ve yüzey tespit aletlerinin üretilebilmesini mümkün kılmıştır. Kısaca dalgaların olduğu her alanda geniş ufuklar açmıştır.

Ne Anlama Geliyor? 

Zamana bağlı fonksiyonları, frekansa bağlı olarak tanımlamaya yarar. Burada, sol taraf dönüşümün sonucunu gösteren fonksiyondur (ancak burada fonksiyonun tersi olarak yazılır) ve “xi” harfi, frekansı ifade eder. Sağ tarafta, eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar integral alınmaktadır. İntegrali alınan fonksiyon, genellikle zamana bağlı olarak ifade edilen ve frekansa bağlı ifadesini aradığımız fonksiyondur ve “f(x)” olarak gösterilir. Yani bu durumda, “x” genellikle zamanı belirtir. Geri kalan ifadeler ise, bildiğimiz “pi” sayısı, “i” karmaşık sayısı, “x” değişkeni ve “xi” frekansıdır. “dx” ise integralin değişkenini belirtmektedir.

Tarihi Nedir?

Joseph Fourier bu denklemi meşhur ısı denkleminden genişleterek çıkarmıştır. Bu denklemi daha önceden dalga denklemi olarak anılmaktaydı.

Önemi Nedir?

Bu denklem sayesinde karmaşık şablonlar basitleştirilebilir, temizlenebilir ve analiz edilebilir. Birçok sinyal analizi alanında önem taşımaktadır.

Modern Kullanımı Nedir?

Bilginin JPEG formatında saklanabilmesini ve moleküllerin yapısının keşfedilebilmesini sağlamaktadır. Optik görüntülerin, müzikal enstrümanların, kuantum mekanik sistemlerin anlaşılabilmesinde ve analizinde kullanılır. Ayrıca sinyal analizinde, ışık deneylerinde ve yüzey akımlarının radyasyonunun tespitinde geniş olarak kullanılır.

Ne Anlama Geliyor? 

Denklemin sol tarafı küçük miktarda bir akışkanın ivmesidir, sağ tarafı da üzerine etki eden kuvvetleri belirler. Dolayısıyla bu denklem, Newton’un İkinci Yasası’nın akışkanlara genişletilmiş bir versiyonudur. Bu denklemde sol taraftaki ilk harf olan “ro”, akışkan yoğunluğunu gösterir. Parantez içerisindeki “del v bölü del t” olarak okunan ifade, akışın hızının zamana göre değişimi, yani akışın ivmesidir. Parantez içerisindeki ikinci terim, akışın hızı ile akışın gradyanını (değişim vektörünü) birbiriyle çarpan ifadedir. Denklemin sağ tarafındaki ters üçgen, del operatörüdür. İlk terimde akışın basıncının del operatörü ile çarpımı alınır. Sonrasında ise aynı işlem, toplam stres tensörü ile yapılır ve sonunda bu iki terimin toplamına “f” ile ifade edilen vücut kuvvetleri eklenir.

Tarihi Nedir?

Leonhard Euler bir akışkan hareketini tanımlamaya çalışan ilk kişi oldu, ancak denkleme son halini Fransız mühendis Claude-Louis Navier ve İrlandalı matematikçi George Stokes vermiştir.

Önemi Nedir?

Bilgisayarlar bu denklemi çözebilecek kadar güçlü hale geldiğinde, fizik alanında karmaşık ve çok faydalı alanların açılmasını sağlamıştır. Özellikle araçların daha aerodinamik olarak üretilebilmesini mümkün kılmıştır.

Modern Kullanımı Nedir?

Birçok diğer teknoloji ile birlikte, modern yolcu jetlerinin yapılabilmesini sağlamıştır. Bunun haricinde akışkanların düzgün ve türbülanslı bir biçimde hareketinin analizinde kullanılır. Bu sayede, içerisinde akışkanların hareketini barındıran her türlü teknolojinin geliştirilebilmesini mümkün kılmıştır.

Biraz araştırıp diğerlerinize siz bulunuz :)