"Hayır, Olur mu ya" Diye İtiraz Edeceğiniz Bir Olasılık Problemi
Monthy Hall Problemi
İlk olarak 70'lerde ortaya atılmış. 90’larda Amerika’da bir yarışma programı ile popülerleşmiş bir bilmece. Bir matematik sorusu. İsmini de bu yarışmanın sunucusundan almış. Bahsi geçen yarışma özetle şöyle: Yarışmanın final aşamasında yarışmacının karşısına 3 tane kapı çıkıyor. Kapılardan birinin ardında araba, diğer ikisinin ardında ise keçi var. Yarışmacıdan bir kapıyı seçmesi isteniyor. Araba olan kapıyı seçerse arabayı kazanacak, keçi olan kapılardan birisini seçerse eli boş dönecek. Yarışmacı bir kapıyı seçiyor. Kapılar daha açılmamışken sunucu, yarışmacının seçmediği diğer iki kapıdan keçi olan bir tanesini açıyor. Sunucu, arabanın hangi kapıda olduğunu biliyor. Sonra yarışmacıya “Artık iki tane kapı var. Kararını değiştirip diğer kapıyı seçmek ister misin?” diye soruyor. Yarışmacının ne yapması menfaatinedir. Kararını değiştirip diğer kapıyı seçmesi mi, yoksa eski seçtiği kapı ile devam etmesi mi?
İlk bakışta kararımızı değiştirip değiştirmememiz neyi farkettirir ki diyebiliriz. Olasılık %50 gibi gözüküyor.
Ama değil.
Yarışmacı kararını değiştirip diğer kapıyı seçerse, araba kazanma olasılığını 1/3’den 2/3’e çıkarmış yani ikiye katlamış olur.
Şöyle açıklamaya çalışayım: Yarışmacı üç kapıdan birini seçtiğinde o seçtiği kapıda araba olma olasılığı 1/3’dür. Seçmediği kapılarda araba olma olasılığı ise 2/3’dür. Sunucu, yarışmacının seçmediği iki kapıdan birisinde araba olmadığını kanıtlarsa (bunu kapıyı açıp keçiyi göstererek yapıyor) yarışmacının seçmediği o diğer kapıda araba olma olasılığı hala 2/3 olarak kalmaya devam eder.
Anlaşılmadıysa aşağıdaki resim olayı, olasılık hesabı ile değil, durumları tek tek inceleyerek anlatmaya çalışıyor.
Görüldüğü gibi, üç durumdan ikisinde kazanıyor.
Daha hala olmadıysa? O zaman bir de olayı abartarak anlatmaya çalışayım. Bir sepette 100 tane küçük top var. Bu toplardan birisinin içinde ise altın var. Diğerleri boş. Rastgele bir top seçiyorsunuz. Seçtiğiniz topta altın olma olasılığı 1/100’dur. Sonra, hangi topta altın olduğunu bilen arkadaşınız, sepetteki 99 toptan boş olan 98 tanesini açıyor. Evet, o sepette tek kalan açılmamış topun içinde altın olma olasılığı %99’dur.